Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2. 2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei

obţinute şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd

•  Inducţia matematică

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care

   sunt funcţii, şiruri, progresii

2. 2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3. 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionamentul inductiv

4. 4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5. 5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe N prin raţionament de tip inductiv

6. 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite

Funcţii

Şiruri

•  Modalităţi de a defini un şir

•  Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

•  Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică pentru n �3

pe N

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor

3. 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. 4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

6. 6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x m sau y m , cu m lR

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

•  Funcţii numerice F f : D ➔lR, D �lR;

  reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f (x) g(x) (,, , �) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de

  drepte de forma x m , m lR , periodicitate

•  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

4. 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6. 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei f : lR ➔lR , f (x) ax b , unde a,b lR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) f (x2 ) (sau prin studierea semnului

  raportului f (x1) f (x2 ) , x1, x2lR , x1x2)

  

  x1x2

•  Inecuaţii de forma ax b 0 (, , �) studiate pe lR sau pe intervale de numere reale

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de

ecuaţii de tipul ax by c , a,b, c, m, n, p lR

�mx ny p



•  Sisteme de inecuaţii de gradul I

1. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2. 2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II- lea

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6. 6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : IR ➔IR , f (x) ax2bx c, a  0, a,b, c IR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia

  f (x)  0 , simetria faţă de drepte de forma

  x m , cu m IR

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de

forma x y s , cu s, p IR

�xy p



1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre

   seturi de date şi reprezentări grafice

2. 2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3. 3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

6. 6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de

optimizare

Interpretarea geometrică a proprietăţilor

algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) f (x2 ) sau prin rata

  creşterii/descreşterii: f (x1) f (x2 ) , x1, x2IR ,

  

  x1x2

  x1x2 , punct de extrem (vârful parabolei)

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2bx c 0

  (�, , ) , a,b, c IR, a  0 , studiate pe IR sau pe

  intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe)

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma

mx n y

�ax2 bx c y , a,b, c, m, n IR



1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli

1. Descrierea sintetică sau vectorială a

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul

proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

1. 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

2. 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

3. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

4. 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice

5. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie al unui punct

•  Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

•  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. 1. Identificarea legăturilor între coordonate

   unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4. 4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

•  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin, cos :0, 2➔1,1,

  tg :0,➔IR , ctg : 0,➔IR

  2 

  

•  Definirea funcţiilor trigonometrice:

  sin : IR ➔1,1, cos : IR ➔1,1, tg : IR D ➔IR ,

  cu D kk z, ctg : IR D ➔IR , cu

  

  2 

  

  

  D kk z

•  Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin(a b) , sin(a b) , cos(a b) , cos(a b) , sin 2a , cos 2a ,

sin a sin b , sin a sin b , cos a cos b ,

cos a  cos b (transformarea sumei în produs)

1. 1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. 2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3. 3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia

4. 4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

•  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

•  Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. 2. Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea

acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale

•  Radical dintr-un număr raţional, n �2 , proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

•  Mulţimea (C . Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real

•  Rezolvarea în (C a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere cu exponent natural:

  

  f : ffi ➔D , f (x) xn, n N şi n �2

•  Funcţia radical: f : D ➔ffi , f (x) n x , n N şi n �2 , unde D 0, pentru n par şi D ffi pentru n impar

•  Funcţia exponenţială: f : ffi ➔0, ,

  f (x) ax, a 0, , a  1 şi funcţia logaritmică: f : 0, ➔ffi , f (x)  logax , a 0, , a  1, creştere exponenţială, creştere logaritmică

•  Funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  1. 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3

  2. 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

  3. 3. Ecuaţii trigonometrice: sin x a , cos x a , a 1,1, tgx a , ctgx a , a ffi , sin f (x) sin g (x) ,

cos f (x)  cos g(x) , tg f (x)  tg g(x) ,

ctg f (x)  ctg g(x)

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia:

intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0 , reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bi}ectivitate, inversabilitate, semn,

concavitate I convexitate.

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

6. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

•  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor

  f : A ➔B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Permutări

  • – numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

  • – numărul funcţiilor bijective f : A ➔B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Aranjamente

  • – numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

  • – numărul funcţiilor injective f : A ➔B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Combinări – numărul submulţimilor cu câte

  k elemente, unde 0 k n , ale unei mulţimi finite cu n elemente

  Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

•  Binomul lui Newton

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu

modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Coordonatele unui vector în plan,

1. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

2. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

3. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

4. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real

• ■ Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Permutări

•  Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi

•  Inversiuni, semnul unei permutări

  Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinant de ordin n, proprietăţi

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

  Sisteme de ecuaţii liniare

•  Matrice inversabile din MnC, n 4

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

•  Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli,

proprietatea Rouche, metoda Gauss

1. 1. Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5. 5. Studierea unor funcţii din punct de vedere

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile şi 

•  Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Limita unui şir utilizând vecinătăţi, proprietăţi

cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval dat, proprietăţi algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi/sau pentru identificarea unor proprietăţi

1. 6. Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global ale unor funcţii utilizând continuitatea, derivabilitatea sau reprezentarea grafică

   Note:

   •  În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct şi de şir convergent nu se vor introduce definiţiile cu şi nici teorema de convergenţă cu .

   •  Se utilizează exprimarea „proprietatea lui …”,

„regula lui .", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

•  Şiruri convergente: intuitiv, comportarea valorilor unei funcţii cu grafic continuu când argumentul se apropie de o valoare dată, şiruri convergente: exemple semnificative:

  an, na, 1 1n (fără

  n n 

  �n 

  �n

  demonstraţie), operaţii cu şiruri convergente, convergenţa şirurilor utilizând proprietatea Weierstrass. Numărul e; limita şirului

   1 

  1 unun , un➔0

  �n

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, calculul limitelor laterale

•  Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de

  funcţii: 0, , , 0 , 1 , 0, 00

  0 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice

  Continuitate

•  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue

•  Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale

•  Proprietatea lui Darboux, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în �

  Derivabilitate

•  Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate

•  Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi interpretarea lor geometrică, consecinţe ale teoremei lui Lagrange: derivata unei funcţii într-un punct

•  Regulile lui l’Hospital

•  Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: puncte de extrem, monotonia funcţiilor

•  Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

  Reprezentarea grafică a funcţiilor

•  Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea

reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

•  Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată o mulţime

2. 2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere

1. 3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Folosirea descompunerii în factori a polinomelor, în probleme de divizibilitate şi în rezolvări de ecuaţii

4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică

2. 5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică condiţii date

1. 6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza proprietăţilor operaţiilor

2. 6.2. Modelarea unor situaţii practice, utilizând noţiunea de polinom sau de ecuaţie algebrică

Elemente de algebră Grupuri

•  Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, Z n

•  Morfism, izomorfism de grupuri

•  Subgrup

•  Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element

  Inele şi corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( Z, Q, JR, C ),

  Z n, inele de matrice, inele de funcţii reale

•  Corp, exemple: corpuri numerice

  ( Q, JR, C ), Z p, p prim, corpuri de matrice

•  Morfisme de inele şi de corpuri

  Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( Q, JR, C, Z p, p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

•  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete

•  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în Z, Q, JR, C , ecuaţii binome,

ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al

Elemente de analiză matematică

•  Probleme care conduc la noţiunea de integrală

  Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definită

integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval

1. 6.1. Utilizarea proprietăţilor de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite şi în probleme cu conţinut practic

2. 6.2. Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale

•  Diviziuni ale unui interval a,b, norma unei

  diviziuni, sistem de puncte intermediare. Sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval a,b

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. Integrabilitatea funcţiilor continue

•  Teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue

•  Formula Leibniz – Newton

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor

  b

  de forma  P(x)dx, grad Q 4 prin metoda

  a Q(x)

  descompunerii în fracţii simple

  Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumul unui corp de rotaţie

•  Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" sau

„regulă", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui

demonstraţie este în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2. 2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calcului cu numere reale

4. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

•  Predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd

•  Inducţia matematică

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii

2. 2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3. 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionament inductiv

4. 4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5. 5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe N prin raţionament de tip inductiv

6. 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite

pe N

Şiruri

•  Modalităţi de a defini un şir

•  Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

•  Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică pentru n �3

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs

cartezian de mulţimi numerice; condiţii

descriere a funcţiilor

1. 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

2. 4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

3. 5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

4. 6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x m sau y m , cu m lR

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi

  de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

•  Funcţii numerice F f : D ➔lR, D �lR;

  reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f (x) g (x) (, , , �) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură

  grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate, imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x m , m lR , periodicitate

•  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

4. 4. Exprimarea legăturii dintre funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6. 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei f : lR ➔lR, f (x) ax b , unde a,b lR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) f (x2 ) (sau prin studierea semnului

  raportului f (x1) f (x2 ) , x1, x2lR , x1x2)

  

  x1x2

•  Inecuaţii de forma ax b 0 (, , �) studiate pe lR sau pe intervale de numere reale

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de

  ecuaţii de tipul ax by c , a,b, c, m, n, p lR

  mx ny p

  

•  Sisteme de inecuaţii de gradul I

1. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2. 2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II- lea

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii de gradul al II-lea prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : lR ➔lR , f (x) ax2bx c, a  0, a,b, c lR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia

  f (x)  0 , simetria faţă de drepte de forma

  x m , cu m lR

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de

forma x y s , cu s, p lR

xy p



caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor

probleme şi în modelarea unor procese

1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2. 2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3. 3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

6. 6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f (x1) f (x2 ) sau prin rata

  creşterii/descreşterii: f (x1) f (x2 ) , x1, x2lR ,

  

  x1x2

  x1x2 , punct de extrem (vârful parabolei)

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul

  funcţiei, inecuaţii de forma ax2bx c  0 (�, , ) , cu a,b, c lR, a  0 , studiate pe lR sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axe)

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma

mx n y

ax2 bx c y , a,b, c, m, n lR



1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie

   vectorială în diferite contexte

2. 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari şi nenuli

1. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2. 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

3. 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

4. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

5. 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie al unui punct

•  Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

•  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

geometrice

6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

1. 1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. 2. Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4. 4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

•  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin, cos :0, 2➔1,1,

  tg :0,➔IR , ctg : 0,➔IR

  2 

  

•  Definirea funcţiilor trigonometrice:

  sin : IR ➔1,1, cos : IR ➔1,1, tg : IR D ➔IR ,

  cu D kk z, ctg : IR D ➔IR , cu

  

  2 

  

  

  D kk z

•  Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin(a b) , sin(a b) , cos(a b) , cos(a b) , sin 2a , cos 2a , sin a sin b , sin a sin b , cos a cos b ,

cos a  cos b (transformarea sumei în produs)

1. 1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. 2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3. 3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia

4. 4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

•  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

•  Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. 2. Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii

Mulţimi de numere

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale

•  Radical dintr-un număr raţional, n 2 ,

  proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

•  Mulţimea (C . Numere complexe sub formă

1. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

2. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

3. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea

acestora în rezolvarea unor ecuaţii

algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real

•  Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere: f : JR ➔D , f (x) xn, n N

  

  şi n 2

•  Funcţia radical: f : D ➔JR , f (x) n x , n N şi n 2 , unde D 0, pentru n par şi D JR pentru n impar

•  Funcţia exponenţială f : JR ➔0, ,

  f (x) ax, a 0, , a  1 şi funcţia logaritmică f : 0, ➔JR , f (x)  logax , a 0, , a  1, creştere exponenţială, creştere logaritmică

•  Funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă.

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  1. 1. Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3

  2. 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

  3. 3. Ecuaţii trigonometrice: sin x a , cos x a , a 1,1, tgx a , ctgx a , a JR , sin f (x) sin g(x) ,

cos f (x)  cos g(x) , tg f (x)  tg g(x) ,

ctg f (x)  ctg g(x)

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0 , reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bi}ectivitate, inversabilitate, semn,

concavitate I convexitate.

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea, în moduri variate, a

Metode de numărare

•  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor

  f : A ➔B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Permutări

  • – numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

  • – numărul funcţiilor bijective f : A ➔B ,

caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

1. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

2. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Aranjamente

  • – numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

  • – numărul funcţiilor injective f : A ➔B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Combinări – numărul submulţimilor cu câte

  k elemente, unde 0 k n , ale unei mulţimi finite cu n elemente.

  Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

•  Binomul lui Newton

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi a diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice

   analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real

• ■ Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinant unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din MnC, n 2,3

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

•  Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

1. 1. Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5. 5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6. 6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile şi 

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere

  

  ( n 2,3 ), funcţia radical ( n 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2

•  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere

  

  ( n 2,3 ), funcţia radical ( n 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul limitelor de

  funcţii: 0, , 0 

  0 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

  Funcţii continue

•  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

•  Semnul unei funcţii continue pe un interval

de numere reale utilizând consecinţa proprietăţii lui Darboux

Funcţii derivabile

•  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

•  Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate

•  Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0, 

  

  0 

  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

•  Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

Note:

• – În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct nu se va introduce definiţia cu .

• – Se utilizează exprimarea „proprietatea lui …”,

„regula lui .", pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice

1. 2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2. 2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri

1. 3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

2. 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

1. 6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

2. 6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

Elemente de algebră Grupuri

•  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, Z n

•  Morfism şi izomorfism de grupuri

  Inele şi corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( Z, Q, JR, C ),

  Z n, inele de matrice, inele de funcţii reale

•  Corp, exemple: corpuri numerice ( Q, JR, C ),

  Z p, p prim

  Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( Q, JR, C, Z p, p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

•  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete

pentru polinoame de grad cel mult 4

•  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în Z, Q, JR, C , ecuaţii binome,

ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. 5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a volumului unui corp, folosind calculul integral şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. 6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice

Elemente de analiză matematică

•  Probleme care conduc la noţiunea de integrală

  Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

  Integrala definită

•  Definirea integralei Riemann, a unei funcţii continue prin formula Leibniz-Newton

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor

  b

  de forma  P(x)dx, grad Q 4 , prin metoda

  a Q(x)

  descompunerii în fracţii simple

  Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumului unui corp de rotaţie

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" sau

„regulă" pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1.1 Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi/sau teoriei mulţimilor

2.1 Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a operaţiilor logice şi identificarea de proprietăţi ale acestora

3.1 Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea de operaţii cu mulţimi, cu numere reale, cu predicate

4.1 Redactarea soluţiei unei probleme utilizând corelarea dintre limbajul logicii matematice şi limbajul teoriei mulţimilor

5.1 Analizarea unor contexte uzuale şi/sau matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor

6.1 Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi

interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale (reuniune şi intersecţie)

•  Predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate)

1.1 Recunoaşterea unor corespondenţe care

sunt funcţii, şiruri, progresii

2.1 Calcularea valorilor unor funcţii care modelează situaţii practice în scopul caracterizării acestora

3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de calcul

4.1 Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din probleme practice

5.1 Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor

6.1 Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de context

Funcţii Şiruri

•  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, aflarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

1.1 Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.1 Determinarea soluţiilor unor ecuaţii,

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs

inecuaţii utilizând reprezentările grafice

3.1 Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de reprezentare grafică în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale acesteia

4.1 Exprimarea monotoniei unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.1 Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6.1 Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

cartezian de mulţimi numerice

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice; egalitatea a două funcţii, graficul unei funcţii

•  Funcţii numerice f : J ➔IR , J interval de numere reale; proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu axele de coordonate, monotonie

1.1 Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2.1 Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor

3.1 Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I

4.1 Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5.1 Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6.1 Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea

rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : IR ➔IR , f (x) ax b a,b IR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

•  Inecuaţii de forma ax b  0 (, , ) , a,b IR , studiate pe IR sau pe intervale de numere reale

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul

ax by c , a,b, c, m, n, p IR

mx ny p



1.1 Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice

prin exemple

2.1 Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3.1 Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4.1 Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5.1 Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme

6.1 Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : IR ➔IR , f (x) ax2bx c, a  0, a,b, c IR , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia

  f (x)  0

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de

forma x y s , s, p IR

xy p



1.1 Identificarea unor moduri de variaţie a datelor

2.1 Compararea variaţiei unor date diverse prin intermediul ratei creşterii

3.1 Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme

4.1 Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie, punct de extrem (vârful parabolei), interpretare geometrică

•  Semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2bx c  0 (, , ) , cu a,b, c IR, a  0 , interpretare geometrică

•  Rezolvarea sistemelor de forma

condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5.1 Determinarea relaţiei între condiţii algebrice date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea

6.1 Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme practice

mx n y , a,b, c, m, n ffi , interpretare

ax2bx c y



geometrică

1.1 Identificarea elementelor de geometrie vectorială în diferite contexte

2.1 Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3.1 Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie configuraţii geometrice date

4.1 Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice

5.1 Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6.1 Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), înmulţirea cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi, necoliniari nenuli

1.1 Identificarea elementelor necesare pentru

calculul unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2.1 Utilizarea unor formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3.1 Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4.1 Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice

5.1 Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

6.1 Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

•  Rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Formulele sin 180x sin x ;

  cos180xcos x (fără demonstraţie)

•  Modalităţi de calculare a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real

2. 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea

Numere reale

•  Proprietăţi ale puterilor cu exponent întreg ale unui număr real, aproximări raţionale pentru numere reale

•  Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică

•  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale

optimizării calculelor

6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora

în rezolvarea unor ecuaţii

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0 ,

reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bi}ectivitate, inversabilitate, semn, concavitateIconvexitate.

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere: f : JRi ➔JRi , f (x) xn, n N

  

  

  şi n 2

•  Funcţia radical: f : D ➔JRi , f (x) nx , n  2,3 , unde D 0, pentru n par şi D JRi pentru n impar

•  Funcţia exponenţială f : JRi ➔0, ,

  f (x) ax, a 0, , a  1 şi funcţia logaritmică f : 0, ➔JRi , f (x)  logax , a 0, , a  1, creştere exponenţială, creştere logaritmică

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  • – Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3

  • – Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice de forma a f(x)a g(x), logaf (x) b a  0, a  1, a,b JRi , utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea de

    ecuaţii algebrice

•  Rezolvarea unor probleme care pot fi modelate cu ajutorul ecuaţiilor

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic, cu ajutorul elementelor de combinatorică

6. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor

Probleme de numărare

•  Mulţimi finite ordonate

•  Permutări – numărul de mulţimi ordonate cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

•  Aranjamente – numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

•  Combinări – numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 k n , ale unei mulţimi finite cu n elemente, proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n

elemente

1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic

sau statistic în situaţii concrete

Elemente de combinatorică, statistică şi probabilităţi

1. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice, a graficelor şi a diagramelor

2. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabailităţilor pentru analiza de caz

3. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice

4. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

5. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu

modul de comportare în situaţii studiate

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice

•  Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două puncte distincte, calcularea unor distanţe şi a unor arii

•  Condiţii de paralelism, condiţii de coliniaritate; linii importante în triunghi

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinant unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din MnIRi, n 2,3

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

•  Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

1. 1. Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii

5. 5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6. 6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Note:

În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într- un punct nu se va introduce definiţia cu .

Se utilizează exprimarea „proprietatea lui …",

„regula lui ." pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile şi 

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale pentru: funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere

  

  ( n 2,3 ), funcţia radical ( n 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2

•  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere

  

  ( n 2,3 ), funcţia radical ( n 2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul limitelor de

  funcţii: 0, , 0 

  0 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

  Funcţii continue

•  Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

•  Semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale utilizând consecinţa proprietăţii lui Darboux

  Funcţii derivabile

•  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

•  Operaţii cu funcţii care admit derivată, calculul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea pentru funcţiile studiate

•  Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0, 

  0 

  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

•  Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al II- lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a

Elemente de algebră

mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice

1. 2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2. 2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri

1. 3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

2. 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

1. 6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

2. 6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

Grupuri

•  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, Z n

•  Morfism şi izomorfism de grupuri

  Inele si corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( Z, Q, IRi ),

  Z n, inele de matrice, inele de funcţii reale

•  Corp, exemple: corpuri numerice ( Q, IRi ),

  Z p, p prim

  Inele de polinoame cu coeficienţi intr-un corp comutativ ( Q, IRi, Z p, p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

•  Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 4

•  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în Z, Q, IRi , ecuaţii binome,

ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. 5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a volumului unui corp, folosind calculul integral şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. 6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice

Elemente de analiză matematică

•  Probleme care conduc la noţiunea de integrală

  Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

  Integrala definită

•  Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz – Newton

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor

b

de forma  P(x)dx, grad Q 4 prin metoda

a Q(x)

descompunerii în fracţii simple

Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumului unui corp de rotaţie

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" sau

„regulă" pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui

demonstraţie este în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi/sau a teoriei mulţimilor

2. 2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulţimilor

3. 3. Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii

4. 4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi folosind limbajul logicii matematice

5. 5. Analizarea unor contexte uzuale şi/sau matematice (de exemplu: redactarea soluţiei unei probleme) utilizând limbajul logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei probleme în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate)

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii

2. 2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, funcţii, şiruri în scopul caracterizării acestora

3. 3. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea caracteristicilor unei funcţii folosind reprezentări (diagrame, grafice)

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale unor şiruri folosind reprezentări grafice sau raţionamente de tip inductiv

6. 6. Asocierea unei situaţii-problemă cu un model matematic de tip funcţie, şir,

progresie

Funcţii Şiruri

•  Modalităţi de a descrie un şir; exemple de şiruri: progresii aritmetice, progresii geometrice, aflarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcţii

3. 3. Folosirea proprietăţilor unei funcţii pentru completarea graficului unei funcţii pare,

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane.

Drepte în plan de forma x m sau de forma

impare sau periodice

1. 4. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza lecturii grafice

2. 5. Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

3. 6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

y m, m IRi

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice; egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii, graficul unei funcţii

•  Funcţii numerice f : J ➔IRi , J interval de numere reale; proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lecturi grafice: reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu axele de coordonate, rezolvarea grafică a ecuaţiilor de forma f (x) g(x) , mărginire, paritate, imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de origine), periodicitate,

monotonie

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii, inecuaţii sau sisteme

5. 5. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I

6. 6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie;

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : IRi ➔IRi , f (x) ax b a,b IRi , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

•  Inecuaţii de forma ax b  0,(, , ), a, b IRi

  studiate pe IRi

•  Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul

ax by c , a,b, c, m, n, p IRi

mx ny p



1. 1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple

2. 2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme

6. 6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : IRi ➔IRi , f (x) ax2bx c, a  0, a,b, c IRi , intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia

  f (x)  0 , simetria faţă de drepte de forma

  x m, m IRi

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de

forma x y s , s, p IRi

xy p



1. Identificarea unor moduri de variaţie a

datelor

Interpretarea geometrică a proprietăţilor

algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

1. 2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor

2. 3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme

3. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

4. 5. Interpretarea unei configuraţii din perspectiva poziţiei relative a unei drepte faţă de o parabolă

5. 6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezultatelor unor probleme practice

•  Monotonie; punct de extrem (vârful parabolei), interpretare geometrică

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul funcţiei, inecuaţii de forma ax2bx c 0

  (, , ) , cu a,b, c ffi, a  0 , interpretare

  geometrică

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma

mx n y

ax2 bx c y , a,b, c, m, n ffi , interpretare



geometrică

1. 1. Identificarea elementelor de geometrie

   vectorială în configuraţii geometrice

2. 2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3. 3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe configuraţii geometrice date

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice

5. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuarea operaţiilor cu vectori

6. 6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăţilor unor funcţii

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu scalari, proprietăţi ale înmulţirii cu scalari, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori daţi necoliniari şi nenuli

1. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice

2. 2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configuraţii geometrice date

3. 3. Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică

4. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date

5. 5. Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism

6. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi

probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie al unui punct

•  Vectorul de poziţie al punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie al centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

1. 1. Identificarea elementelor necesare pentru

   calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2. 2. Utilizarea unor formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3. 3. Aplicarea teoremelor şi a formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)

4. 4. Transpunerea într-un limbaj specific

Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

•  Rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Formulele sin 180x sin x ;

  cos180xcos x (fără demonstraţie)

•  Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului

trigonometriei şi/sau geometriei a unor probleme practice

1. 5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

2. 6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real

2. 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Analizarea validităţii unor afirmaţii prin utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau

a regulilor de calcul

Numere reale

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real, aproximări raţionale pentru numere iraţionale

•  Puteri cu exponent iraţional şi cu exponent real ale unui număr pozitiv

•  Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

1. 1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în diverse moduri

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, continuitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în calcule şi aproximări, prin metode diverse

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o variabilă

5. 5. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f (x)  0 ,

reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bi}ectivitate, inversabilitate, semn, concavitateIconvexitate

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere: f : JRi ➔JRi , f (x) xn, n N

  

  

  şi n 2

•  Funcţia radical: f : D ➔JRi , f (x) nx , n  2,3 , unde D 0, pentru n par şi D JRi pentru n impar

•  Funcţia exponenţială f : JRi ➔0, ,

  f (x) ax, a 0, , a  1 şi funcţia logaritmică f : 0, ➔JRi , f (x)  logax , a 0, , a  1, creştere exponenţială, creştere logaritmică

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  • – Ecuaţii iraţionale care conţin radicali de ordinul 2 sau 3

  • – Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice de forma a f(x)a g(x), logaf (x) b a  0, a  1, a,b JRi , utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea de

    ecuaţii algebrice

•  Rezolvarea unor probleme care pot fi modelate cu ajutorul ecuaţiilor

1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic

sau statistic în situaţii concrete

Matematici financiare

•  Probleme de numărare: permutări,

1. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

2. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

3. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

4. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

5. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu

modul de comportare în situaţii studiate

aranjamente, combinări

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, calcularea preţului de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două puncte distincte date

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere şi a structurilor algebrice

2. 2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

3. 3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse mulţimi în scopul identificării unor algoritmi

4. 4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificarea organizării structurale a acestora

5. 5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi algebrice

Structuri algebrice

•  Legi de compoziţie, proprietăţi

•  Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulţimile N, Z, Q, JRi, Z n

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matriceală

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode diferite de rezolvare şi compararea acestor metode

5. 5. Stabilirea compatibilităţii unor sisteme liniare şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea a două matrice, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu scalar, produsul a două matrice, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

  Sisteme de ecuaţii liniare

•  Matrice inversabile din MnJRi, n 2,3 . Ecuaţii matriceale

•  Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem

  

  liniar

•  Metode de rezolvare a sistemelor liniare: metoda Cramer, metoda Gauss

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi caracterizarea coliniarităţii a trei puncte în plan